외접원과 외심의 성질

외접원(外接圓)이란, 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 원을 뜻한다. 그 원의 중심은 외심이라고 한다.

일반적으로 모든 삼각형과 정다각형들에는 외접원이 존재하지만, 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다. 정다각형의 경우 외심은 정다각형의 중심과 같다.

삼각형의 외접원]

모든 삼각형에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 삼각형의 각 꼭짓점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.

삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점은 외접원의 중심에서 만난다.

이것을 증명하려면, 어떠한 변의 수직이등분선은 하나밖에 존재하지 않는다는 것을 이용하여, 두 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 수선이 그 변을 이등분한다는 것을 보이면 된다.

외심의 위치[편집]

• 직각삼각형의 외심은 빗변의 중심에 위치한다.
• 둔각삼각형의 외심은 삼각형 바깥에 위치한다.
• 예각삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 위치한다.

외접원과 외심의 성질[편집]

• 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
• 삼각형의 외심, 무게중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위에 있다. (오일러 직선 참고)

사인 법칙[편집]

이 부분의 본문은 사인 법칙입니다.

삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기를 각각 ${\displaystyle a,b,c,A,B,C}$라 하고, 외접원의 반지름 길이를 ${\displaystyle R}$이라 할 때, ${\displaystyle {\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}=2R}$ 이 성립한다.

외접원과 삼각형의 넓이[편집]

삼각형의 세 변의 길이를 ${\displaystyle a,b,c}$라 하고, 외접원의 반지름 길이를 ${\displaystyle R}$이라 할 때, 삼각형의 넓이 ${\displaystyle S}$는

${\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}$이 성립한다.

증명은 다음과 같다.

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin {C}}$(삼각형의 넓이)
${\displaystyle \sin {C}={\frac {c}{2R}}}$(사인 법칙)
따라서,
${\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}$

우산 정리[편집]

이 부분의 본문은 우산 정리입니다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$와 그 외접원 위의 점 ${\displaystyle D,BC}$위의 점 ${\displaystyle E}$에 대해, 다음 세 조건 중 하나를 만족하면 ${\displaystyle AB*AC=AD*AE}$이다.

• ${\displaystyle D,E}$는 각 ${\displaystyle A}$의 이등분선 위의 점이다.
• ${\displaystyle A,D,E}$는 한 직선 위에 있으며 ${\displaystyle AB=AC}$이다.
• ${\displaystyle AD}$는 외심을 지나며 ${\displaystyle AE}$는 ${\displaystyle BC}$와 수직이다.

오일러의 정리[편집]

이 부분의 본문은 오일러의 정리 (기하학)입니다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는 ${\displaystyle {\sqrt {R^{2}-2Rr}}}$이다.

오일러의 부등식[편집]

이 부분의 본문은 오일러의 부등식입니다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 R은 2r보다 같거나 크다.

사각형의 외접원

사각형 ABCD에 원이 외접하려면 다음 조건 중 하나를 만족하여야 한다.

• ${\displaystyle \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ }}$(대각)
• ${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB}$(원주각)
• ${\displaystyle AC}$와 ${\displaystyle BD}$의 교점이 ${\displaystyle E}$일 때, ${\displaystyle AE*EC=BE*ED}$(방멱)
• ${\displaystyle AB*CD+AD*BC=AC*BD}$(톨레미의 정리)

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