수학의 재미 2019 AMC 12A #8 문제해설

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2019 AMC 12A미국수학경시대회 문제 : 

한평면에 있는 서로다른 4개 직선이 있다. 
2개나 그이상의 직선에 놓여있는 즉 교차하는 
서로다른 정확히 $N$개의 점들이 있다.
가능한 $N$값들의 합이 얼마냐?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly $N$ distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of $N$?
$\textbf{(A) } 14 \qquad \textbf{(B) } 16 \qquad \textbf{(C) } 18 \qquad \textbf{(D) } 19 \qquad \textbf{(E) } 21$

Solution 

It is possible to obtain $0$, $1$, $3$, $4$, $5$, and $6$ points of intersection[asy] unitsize(2cm); real d = 2.5; draw((-1,.6)--(1,.6),Arrows); draw((-1,.2)--(1,.2),Arrows); draw((-1,-.2)--(1,-.2),Arrows); draw((-1,-.6)--(1,-.6),Arrows); draw((-1+d,0)--(1+d,0),Arrows); draw((0+d,1)--(0+d,-1),Arrows); draw(dir(45)+(d,0)--dir(45+180)+(d,0),Arrows); draw(dir(135)+(d,0)--dir(135+180)+(d,0),Arrows); dot((0+d,0)); draw((-1+2*d,sqrt(3)/3)--(1+2*d,sqrt(3)/3),Arrows); draw((-1/4-1/2+2*d, sqrt(3)/12-sqrt(3)/2)--(-1/4+1/2+2*d,sqrt(3)/12+sqrt(3)/2),Arrows); draw((1/4+1/2+2*d, sqrt(3)/12-sqrt(3)/2)--(1/4-1/2+2*d,sqrt(3)/12+sqrt(3)/2),Arrows); draw((-1+2*d,-sqrt(3)/6)--(1+2*d,-sqrt(3)/6),Arrows); dot((0+2*d,sqrt(3)/3)); dot((-1/2+2*d,-sqrt(3)/6)); dot((1/2+2*d,-sqrt(3)/6)); draw((-1/3,1-d)--(-1/3,-1-d),Arrows); draw((1/3,1-d)--(1/3,-1-d),Arrows); draw((-1,-1/3-d)--(1,-1/3-d),Arrows); draw((-1,1/3-d)--(1,1/3-d),Arrows); dot((1/3,1/3-d)); dot((-1/3,1/3-d)); dot((1/3,-1/3-d)); dot((-1/3,-1/3-d)); draw((-1+d,sqrt(3)/12-d)--(1+d,sqrt(3)/12-d),Arrows); draw((-1/4-1/2+d, sqrt(3)/12-sqrt(3)/2-d)--(-1/4+1/2+d,sqrt(3)/12+sqrt(3)/2-d),Arrows); draw((1/4+1/2+d, sqrt(3)/12-sqrt(3)/2-d)--(1/4-1/2+d,sqrt(3)/12+sqrt(3)/2-d),Arrows); draw((-1+d,-sqrt(3)/6-d)--(1+d,-sqrt(3)/6-d),Arrows); dot((0+d,sqrt(3)/3-d)); dot((-1/2+d,-sqrt(3)/6-d)); dot((1/2+d,-sqrt(3)/6-d)); dot((-1/4+d,sqrt(3)/12-d)); dot((1/4+d,sqrt(3)/12-d)); draw((-1/4-1/2+2*d, sqrt(3)/12-sqrt(3)/2-d)--(-1/4+1/2+2*d,sqrt(3)/12+sqrt(3)/2-d),Arrows); draw((1/4+1/2+2*d, sqrt(3)/12-sqrt(3)/2-d)--(1/4-1/2+2*d,sqrt(3)/12+sqrt(3)/2-d),Arrows); draw(dir(30)+(2*d,-d)--dir(30+180)+(2*d,-d),Arrows); draw(dir(150)+(2*d,-d)--dir(-30)+(2*d,-d),Arrows); dot((0+2*d,0-d)); dot((0+2*d,sqrt(3)/3-d)); dot((-1/2+2*d,-sqrt(3)/6-d)); dot((1/2+2*d,-sqrt(3)/6-d)); dot((-1/4+2*d,sqrt(3)/12-d)); dot((1/4+2*d,sqrt(3)/12-d)); [/asy]
 Our answer is given by the sum $0+1+3+4+5+6=\boxed{19}$, or $\boxed{\text{D}}$.



4 직선이 모두 평행하다면 교점이 :0
평행하지않는 4직선이 모두 한점에서 만나면 교점이 :1
3 평행선을 가로 지르는 직선이 있으면 교점이 :3
2 평행선과  또 다른 2평행선이 만나면 교점이 :4
2 평행선과  또 다른 2개의 평행하지 않은 선이 만나면 교점이 :5
4개의 평행하지 않은 직선이 모두 서로 다른점에서  만나면 교점이 :6

질문: 
  4 직선중 2직선을 선택하면 한점이 생기는데
 즉 A B C D직선중 AB AC AD BC BD CD 2직선이 만나면
 한점이 만들어지고, 평행하면 교점이 없는데
 4개 직선으로 교점 2개는 만들수 있는지?
 만들수 없다면 그이유는 뭘까요?

궁금한점이 있으면 010-3549-5206으로 문의 하세요

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