2019 AMC 10B Problem 23 KMO 대비문제

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평면상의 원 W 위 에 점 A(6,13) 와 점 B(12,11)이 있다.
점 A 와 점 B 에서의 두접선이 X축위의 한점에서 만난다.
원 W의 넓이는 얼마냐?


Points $A(6,13)$ and $B(12,11)$ lie on circle $\omega$ in the plane. Suppose that the tangent lines to $\omega$ at $A$ and $B$ intersect at a point on the $x$-axis. What is the area of $\omega$?
$\textbf{(A) }\frac{83\pi}{8}\qquad\textbf{(B) }\frac{21\pi}{2}\qquad\textbf{(C) } \frac{85\pi}{8}\qquad\textbf{(D) }\frac{43\pi}{4}\qquad\textbf{(E) }\frac{87\pi}{8}$

Solution 1.

일단 그림을 그려보세요.
좌표 평면상 에 점 A(6,13) 와 점 B(12,11)을 표시하고, A(6,13) 와 점 B(12,11)을
지나는 원을 그려보세요.
큰원이 될수도 있고 작은 원도 나올수 있어요.
원위의 두점 A(6,13) 와 점 B(12,11)에서 접선을 그어 두접선이 X축위에서
만나게 해 보세요.
그림이 그려지나요?
조건에 맞는 그림이 나올때 까지 그려보세요.






두 접선의 길이는 같다. 두접선이 C(a,0) 에서 만난다.
한점에서 원에 그은 두접선 길이가 같으니, 그림1 에서 AC=BC ,
A(6,13) ,  B(12,11), C(a,0)
피타고라스 정리를 쓰면 C(5.0)이 나온다.
 접선과 원 W의 반지름이 직각을 이루니, 원의 중심, 점A , B , C(5,0)은 한 원안에 있다.
그림 2에서 각A 와 각B 는 직각이니까, 사각형 AOBC 는 원의 원주상에 있다.
OC 는 지름 이니 중심각이 90도.



                                                                (Ptolemy's theorem)


톨레미의 정리를 이용하면 그림3 에서  $2\sqrt{170}x = d \sqrt{40}$ 식이 나온다.
여기서 d는 원의 중심과 C(5,0)사이 의 거리다.
 $d = \sqrt{17}x$ 

점C(5,0)과 점A 나 점 B 중 한점 , 원의 중심이 직각삼각형을 이룬다.
피타고라스 정리를 이용하면  $170 + x^2 = 17x^2$,   $x^2 = \frac{85}{8}$
원의 넓이는 $\boxed{\textbf{(C) }\frac{85}{8}\pi}$.이다.





Solution 2

​ 두 접선의 길이가 같으니 점 C(5,0) 의 좌표를 구했다.

​선분 AB의 중점은 M(9,12).

​원의 중심이 점C 와 점M 을 통과하는 선상에 있다 (그림1).

​​원의 중심이 y = 3x - 15 선상에 있다.

​선분 AC는 y = 13x-65 이다.

​선분 AC에 수직인 선분 AO는 기울기가 - 1/13 이다.

​선분 AO는 y = - x/13 + 175/13 이다.

​이 직선이 A(6,13) 과 (x, 3x-15) 를 지난다.

​$3x-15=-\frac{x}{13}+\frac{175}{13} \Rightarrow x=\frac{37}{4}$.

​원의 중심이 (37/4 , 51/4) 이다.

​원의 중심 (37/4 , 51/4) 과 점 A(6,13) 사이의 거리는 $\frac{\sqrt{170}}{4}$ 이다.

원의 반지름 이니 ​원의 넓이는 $\boxed{\textbf{(C) }\frac{85}{8}\pi}$.

​



Solution 3

​AB의 중점은  M(9,12) .

​점 A 와 점 B 에서의 두접선이 X축위의 한점에서 만난다 C(a,0).

​CM은 AB의 수직 이등분선이다.

원의 중심을 O 라 하자.

​삼각형 AOC 와 삼각형 MAC 는 닮음꼴이다 .

​$\frac{OA}{AC} = \frac{AD}{DC}$

AB의 기울기는 ​$\frac{13-11}{6-12}=\frac{-1}{3}$

CM의 기울기는 3.​

​CM은 y = 3x -15

​y=0 , x=5

​C = (5,0)

 $AC=\sqrt{(6-5)^2+(13-0)^2}=\sqrt{170}$

$AD=\sqrt{(6-9)^2+(13-12)^2}=\sqrt{10}$
$DC=\sqrt{(9-5)^2+(12-0)^2}=\sqrt{160}$

$OA = \frac{AC\cdot AD}{DC}=\sqrt{\frac{85}{8}}$

원의 넓이는 $\pi\cdot OA^2 = \boxed{\textbf{(C) }\frac{85}{8}\pi}$
  원의 넓이를 3가지로 구해 보았는데 ,다른 방법을 이용해서도 풀수 있겠지요.
여러가지 방식으로 풀어보면서 사고력과 창의력을 길러보세요.

궁금한게 있으면 연락하세요.
010-3549-5206

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