수학의 재미 2019 AMC 12B /Problem 11 비순서쌍 unordered pairs

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주어진 정육면체 에서   몇개의 비순서쌍 모서리가 평면을 이루는가?

How many unordered pairs of edges of a given cube determine a plane?
$\textbf{(A) } 12 \qquad \textbf{(B) } 28 \qquad \textbf{(C) } 36\qquad \textbf{(D) } 42 \qquad \textbf{(E) } 66$

Solution 1


 일반성을 잃지않고(WLOG;Without loss of generality)  정육면체의 12 모서리중 하나를 선택하자.
 무작위로 선택한 나머지 11 모서리중 한개가 문제의 조건 즉 하나의 평면을 결정할 확률을 구해보자.

 공간의 두 선분이 공통된 평면을 만들려면, 두선분이  교차, 하거나 평행 해야 된다.
즉 꼬인위치 (skew lines)은 안된다.
 [asy] import three; import three; unitsize(1cm); size(200); currentprojection=perspective(-6/5,-8/5,7/8); draw((0,1,0)--(0,0,0)--(1,0,0), blue); draw((1,0,0)--(1,1,0)--(0,1,0)); draw((0,0,0)--(0,0,1), red); draw((0,1,0)--(0,1,1), green); draw((1,1,0)--(1,1,1), green); draw((1,0,0)--(1,0,1), green); draw((0,1,1)--(0,0,1)--(1,0,1), blue); draw((1,0,1)--(1,1,1)--(0,1,1)); [/asy]

 위 그림에서 빨간선을 예로들면,  4개의 파란선과 만나고, 3개의 녹색선과 평행한다.
빨간선은 4개의 파란선과 만나고, 하나의 파란선과 하나의 평면을 만든다.
또한 빨간선은 3개의 녹색선중 하나와 하나의 평면을 이룬다.
고로, 12 -1 =11 개의 남은 모서리중  4 + 3 = 7 개의 모서리가 빨간색 모서리와 하나의 평면을 구성한다.
즉 무작위로 선택한 2개 모서리가 평면을 이룰 확률이 7/11 이다.
정육면체의 12개 모서리중 2개를 선택할 경우의 수는 (12C2)= 66가 있다.
답은 66*(7/11)=42
D이다.

Solution 2

 Solution 1 에서와 같이 하나의 평면을 이루려면 , 두모서리는 평행하거나 만나야 한다.
Case 1: 두모서리가 같은 평면에 있을때

 정육면체에는  6개 면이있고, 정육면체를 이루는 정사각형의 4모서리중 2 모서리를 선택하는 방법은 4C2=6 가지가 있다.
6*6=36가지
Case 2: 같은 평면에 있지 않은 두모서리가 평행할때
정육면체의 12모서리 중 어느 모서리나 같은 평면에 있지 않은 평행한 모서리는 정확히 한개뿐이다.
12/2=6 쌍이 있다

 36 + 6= 42
답은 42

Unordered pair:  {a, b}

비순서쌍

In mathematics, an unordered pair or pair set is a set of the form {a, b}, i.e. a set having two elements a and b with no particular relation between them. In contrast, an ordered pair (a, b) has a as its first element and b as its second element.
While the two elements of an ordered pair (a, b) need not be distinct, modern authors only call {a, b} an unordered pair if a ≠ b.
But for a few authors a singleton is also considered an unordered pair, although today, most would say that {a, a} is a multiset. It is typical to use the term unordered pair even in the situation where the elements a and b could be equal, as long as this equality has not yet been established.
A set with precisely two elements is also called a 2-set or (rarely) a binary set.
An unordered pair is a finite set; its cardinality (number of elements) is 2 or (if the two elements are not distinct) 1.
In axiomatic set theory, the existence of unordered pairs is required by an axiom, the axiom of pairing.

More generally, an unordered n-tuple is a set of the form {a1, a2,... an}.

 의문나거나 궁금한게 있으면 010-3549-5206 으로연락바랍니다.



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