정삼각형 내의 평행사변형 개수 구하는 방법

In the figure, the side length of the large equilateral triangle is 3 and f(3), the number of parallelograms bounded by sides in the grid, is 15. For the general analogous situation, find a formula for f(n), the number of parallelograms, for a triangle of side length n.



Canadian Mathematical Olympiad 1991

위의 그림에서 큰 정삼각형의 변의 길이는 3 이다.
f(3), 큰 정삼각형의 변에 평행한 평행사변형 개수 는 15 다.
f(3) = 15
일반적으로, 변의 길이가 n 인 정삼각형 에서  평행사변형 개수 f(n) 을 구하라.



Sol)

 삼각형 안의 어느  평행사변형 이라도
평행사변형의 변은 큰 정삼각형의 세변중 2변에 평행한다.큰 정삼각형의 수평으로 놓여있는 변 (그림에서 b 변) 에 평행하지 않는 변을 고려해 보자.

큰 정삼각형의 두변 (그림에서 a,c 변) 을 b 변 쪽으로 한칸 연장하자.
삼각형 안에 아무 평행사변형 이라도 그려보자.
평행사변형에서  당연히 두변이 평행한다 .
두변을 b 변 쪽으로 연장하여 새로운 밑변과 만나는 네 점이 생긴다.

평행사변형을 연장하여 새로운 밑변에 4점을 얻었는데, 역으로 새로운 밑변에 임의로 4점을 구하여 연결하면 평행사변형이 얻어진다.

즉 일대일 대응이 이루어진다.

서로 다른 평행사변형의 개수는, 새로 얻어진 밑변의 4점을 선택하는 방법과 정확히 일치한다.

삼각형의 변 길이가 n 이라면, 연장된 밑변에는    n + 2 개의 꼭지점이 생긴다.
$(\frac{n+2}{4})$ 

n + 2 개의 꼭지점 중에서 4 점을 선택하면 하나의  평행사변형이 만들어 진다.삼각형의 3변 마다 4 점을 선택 할수 있으니 3을 곱한다$f\left(3\right)=15$ 

The edges of any parallelogram will be parallel to two of the three sides of the big equilateral triangle. Let’s start by counting the parallelograms whose edges are not parallel to the horizontal (bottom) edge. Extend the bottom edge of the big triangle by $1$ (see figure below), and also extend the parallel edges of the parallelogram down until they intersect the new edge. This will create four points (indicated in red on the figure).

The key observation is that each different parallelogram maps to four distinct vertices on the bottom edge and conversely, any set of four distinct vertices along the bottom edge maps to a single parallelogram of interest. It’s a one-to-one mapping! So the number of different parallelograms is precisely the number of different ways of choosing four points on the bottom edge.

If the original triangle has side-length $n$, the extended bottom edge has $n+2$ vertices. So there are $(\frac{n+2}{4})$ ways of choosing the four points. We must multiply our final answer by $3$ to account for the three different possible parallelogram orientations. The final result is that:

$f\left(n\right)=3(\frac{n+2}{4})$

We can check that $f\left(3\right)=15$ as expected.